关于python浮点数的精度及其造成的问题

关于python浮点数的精度及其造成的问题

在解决学术问题的过程中，Python因为其易用性和语法的简洁性而受到欢迎。然而，在某些实际问题中，由于Python默认的浮点数精度是双精度（64位），直接用此精度会出现非常大的问题。例如，回代根到等式发现等式不成立（从而造成恐慌）。本文记录了一种笔者找到的可能的解决方法用于解决Python精度不够的问题。

Python的默认浮点数是双精度。不过不论是什么精度，浮点数在计算机中都是以二进制保存。这就导致了在有限精度下，电脑为自己把精度范围外的小数“掐掉”，导致结果不准确。以下笔者展现一个经典的例子，0.1 + 0.2，其结果为0.30000000000000004，而不是0.3。

经过一些搜索，发现NumPy提供一个相对更高精度的数值类型numpy.float128()（或者numpy.longdouble(), numpy.longfloat()），它的精度比64位“稍高”。使用numpy.float128()之后，输出的结果更加接近真实值0.3。

这会导致什么问题？在大多数情况下（姑且如此说，毕竟我至今第一次遇到这个问题），不会有很大影响。但这不代表这个问题可以忽略。例如在使用SymPy求解方程时，如果直接使用默认浮点数，得到的结果并不能使等式两边成立。

我们首先尝试将64位浮点数替换为128位浮点数，但不幸的是，这种方法得到的精度提升有限。方程两边仍然无法成立。

通过搜索和求助，我得知了使用decimal包的方法。使用十进制数，这样应该就可以表示准确的小数了。但是如果直接使用SymPy去解方程，仍然不能得到精确结果！我推测SymPy仍然使用了浮点数。

在已知方程系数的情况下，求解方程的根有两种方法。一种是直接使用求根公式，适用于四次及以下的多项式方程。另一种是数值法，可以得到一个自定精度的估计值。

由于Python的decimal包中的Decimal类型的特殊性，许多常用的运算方法并不适用此类数值。接下来记录几种我从官方文档和Wikiversity中找到的常用运算方法。

来自Python官方文档：

来自Wikiversity：

可能有读者会好奇，为什么要摘录arctan()。原因是需要进行复数运算！在次数为2、3、4的一元方程中，非常容易出现复数。我针对自己的问题，对arctan()函数进行了一定的修改，并实现了能够进行复数运算的几种方法。此外，还定义了判断两个数是否相等的函数if_eq()。

到目前为止，我们已经能解决高达四次的一元方程。然而，对于大于或等于五次的多项式来说，现有方法似乎仍然显得黔驴技穷。

在没有求根公式的情况下，数值方法是一个解方程实根的很好途径。我使用了牛顿法来解决问题。参考Kong等人的在线书籍，代码实现如下，

到此为止，我们可以尝试一下，能否使用现有知识求解本文最初设置的方程。首先使用求根公式法，成功得到了方程的解！通过观察可得，仅仅是小数后被掐掉的部分不同，就会造成等式两边产生极大（绝对来说，非相对）的不同！

其次，尝试牛顿数值法。

可以看到，数值法的缺陷是需要设置不同的初值，才能得到不同的实根。但优点是，在计算机性能支持的前提下，可以逼近任意方程的某个根。可能有些读者会好奇，此处的“-10000000000000000000000”为何不需要将其进行“十进制化”？原因是在Python中，整数是精确的，不精确的只是浮点数。

本文讨论了在某些特殊方程中因为Python浮点数不够精确而导致的结果不精确的问题。当对结果的精度要求较高或者根的量级非常大时，推荐使用先求初值、再求精确值的方法进行求解。2024-10-16